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      19.★(本小題滿分10分)已知數列{an}、{bn}都是無窮等差數列,其中a1=3,b1=2,b2a2a3的等差中項,且.求極限的值.

      分析 首先需求出anbn的表達式,以確定所求極限的表達式,為此,關鍵在于求出兩個數列的公差,“b2a2a3的等差中項”已給出一個等量關系,“anbn之比的極限為”又給出了另一個等量關系,故可考慮先設出公差用二元方程組求解.

      解 設{an}、{bn}的公差分別為d1d2,

      ∵2b2=a2+a3,即2(2+d2)=(3+d1)+(3+2d1),

      ∴2d2-3d1=2.①   2分

      d2=2d1,②    4分

      聯立①②解得d1=2,d2=4.

      an=a1+(n-1)d1=3+(n-1)·2=2n+1,

      bn=b1+(n-1)d2=2+(n-1)·4=4n-2.   6分

      10分

      試題詳情

      18.(本小題滿分10分)已知數列{an}、{bn},其中an=1+3+5+…+(2n+1),bn=2n+4(n≥5),試問是否存在這樣的自然數n,使得anbn成立?

      分析 對n賦值后,比較幾對anbn的大小,可作出合理猜測,再用數學歸納法予以證明.

      an=1+3+5+…+(2n+1)=(n+1)2,

      n=5時,a5=36,b5=25+4=36,此時a5=b5;

      n=6時, a6=49,b6=26+4=68,此時a6<b6;

      n=7時,a7=64,b7=27+4=132,此時a7<b7;

      n=8時,a8=81,b8=28+4=260,此時a8<b8.

      猜想:當n≥6時,有an<bn.     3分

      下面用數學歸納法證明上述猜想.

      ①當n=6時,顯然不等式成立,∴n=6時,不等式an<bn成立;

      ②假設當n=k(k≥6)時,不等式成立,即ak<bk,也即(k+1)2<2k+4;當n=k+1時,bk+1=2k+1+4=2(2k+4)-4>2(k+1)2-4=2k2+4k-2,

      而(2k2+4k-2)-(k+2)2=k2-6>0(∵k≥6,∴k2>6),

      即2k2+4k-2>(k+2)2=[(k+1)+1]2.

      由不等式的傳遞性,知bk+1>[(k+1)+1]2=ak+1.

      ∴當n=k+1時,不等式也成立.   8分

      由①②可知,對一切n∈N,且n≥6,都有an<bn.

      綜上所述,可知只有當n=5時,an=bn;當n≥6時,anbn.因此存在使anbn成立的自然數n.

      10分

      試題詳情

      17.(本小題滿分8分)某校有教職工150人,為了豐富教工的課余生活,每天定時開放健身房和娛樂室.據調查統計,每次去健身房的人有10%下次去娛樂室,則在娛樂室的人有20%下次去健身房.請問,隨著時間的推移,去健身房的人數能否趨于穩定?

      分析 本題考查用數列的遞推公式求通項及數列的極限.

      解 設第n次去健身房的人數為an,去娛樂室的人數為bn,則an+bn=150,        2分

      an=an-1+bn-1=an-1+(150-an-1)=an-1+30,

      an=an-1+30.          4分

      an-100=(an-1-100).于是an-100=(a1-100)·()n-1,即an=100+()n-1·(a1-100).  6分

      an=100.故隨著時間的推移,去健身房的人數穩定在100人左右.        8分

      試題詳情


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